Die 11 und das Pascalsche Dreieck

Veröffentlicht - 23.Apr.2025

Geht man zeilenweise das Pascalsche Dreieck durch, erkennt man, dass die zweite Zeile (also $n=1$) 11, die dritte 121 die vierte 1331 und die fünfte 14641 ist. Es handelt sich bei allen um Potenzen der Zahl 11. In der nächsten Zeile scheint dieser Zusammenhang zu verschwinden $11^5=161051\neq15101051$. Warum ist das so?

Die im Pascalschen Dreieck stehenden Zahlen entsprechen den Koeffizienten für die Entwicklung von $$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\cdots+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n.$$ Durch geschickte Wahl von $a=10$ und $b=1$ wird die linke Seite $11^n$ und die rechts ergibt sich $$\binom{n}{0}10^n+\binom{n}{1}10^{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}10^1+\binom{n}{n}10^0.$$ D. h. die Einträge im Pascalschen Dreieck lassen sich einfach direkt in eine Stellenwerttafel eintragen. Für das Problem von $n=5$ gilt $$\begin{aligned}11^5&=(10+1)^5=\binom{5}{0}10^5+\binom{5}{1}10^{4}+ \binom{5}{2}10^{3}+\binom{5}{3}10^2+\binom{5}{4}10^{1}+\binom{5}{5}10^0\\ &= 1\cdot 10^5+5\cdot 10^4+10\cdot 10^3+10\cdot 10^2+5\cdot 10^1+1\cdot 10^0.\end{aligned}$$

Hier einhüllt sich des Pudels Kern. Die Zehner bei $10^3$ und $10^2$ sind keine Ziffern in unserem Stellenwertsystem. Wir müssen sie an die nächstgrößere Stelle übertragen $$\begin{aligned}11^5&=(10+1)^5=\binom{5}{0}10^5+\binom{5}{1}10^{4}+\binom{5}{2}10^{3}+ \binom{5}{3}10^2+\binom{5}{4}10^{1}+\binom{5}{5}10^0\\ &= 1\cdot 10^5+5\cdot 10^4+10\cdot 10^3+10\cdot 10^2+5\cdot 10^1+1\cdot 10^0\\ &= 1\cdot 10^5+6\cdot 10^4+1\cdot 10^3+0\cdot 10^2+5\cdot 10^1+1\cdot 10^0 \\ &=161051.\end{aligned}$$ Kurz gesagt: das Pascalsche Dreieck eine Reinkarnation der Zahl Elf.

Quelle