Der lineare Ausdehnungskoeffizient

Veröffentlicht - 03.Okt.2024

Werden Gegenstände oder Fluide erwärmt, dehnen diese sich in den meisten Fällen aus, d.h. ihr Volumen vergrößert sich. Wie groß die Veränderung ist, hängt von dem Material ab. Betrachtet man einen Stab der Länge $l$ bei einer gewissen Temperatur $T$, lässt sich auf Grundlage experimenteller Beobachtungen feststellen, dass es eine Proportionalität zwischen der Längenänderung $\mathrm{d}l$ und der Temperaturänderung $\mathrm{d}T$ gibt. Für die relative Längenänderung gilt:

$$\begin{aligned} \alpha\cdot l =\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T} && (1.1) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \alpha\quad &-\quad\text{linearer Ausdehnungskoeffizient}\\ l\quad &-\quad\text{Länge des Stabs}\\ \mathrm{d}l\quad &-\quad\text{Längenänderung} \\ \mathrm{d}T\quad &-\quad\text{Temperturänderun} \end{aligned}$$

$\alpha$ nennt man den linearen Ausdehnungskoeffizienten. Es handelt sich hierbei um eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung, welche sich über den Ansatz der Trennung der Variablen lösen lässt.

$$\begin{aligned} \alpha\cdot l &=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T} &&(1.2)\\ \Leftrightarrow\quad\alpha\cdot\mathrm{d}T &=\frac{1}{l}\cdot\mathrm{d}l &&(1.3)\\ \Leftrightarrow\quad\int_{T_{0}}^{T_{1}}\alpha\cdot\mathrm{d}T &=\int_{l_{0}}^{l_{^{1}}}\frac{1}{l}\cdot\mathrm{d}l &&(1.4)\\ \Leftrightarrow\quad\int_{T_{0}}^{T_{1}}\alpha\cdot\mathrm{d}T &=\mathrm{ln}(l_{1})-\mathrm{ln}(l_{0}) &&(1.5)\\ \Leftrightarrow\quad\int_{T_{0}}^{T_{1}}\alpha\cdot\mathrm{d}T &=\ln\left(\frac{l_{1}}{l_{0}}\right) &&(1.6)\\ \Leftrightarrow\quad\exp\left(\int_{T_{0}}^{T_{1}}\alpha\cdot\mathrm{d}T\right) &=\frac{l_{1}}{l_{0}} &&(1.7)\\ \Leftrightarrow\quad l_{0}\cdot\exp\left(\int_{T_{0}}^{T_{1}}\alpha\cdot\mathrm{d}T\right) &=l_{1} &&(1.8) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} T_{1}\quad &-\quad\text{Temperatur nach der Ausdehnung}\\ T_{0}\quad &-\quad\text{Temperatur vor der Ausdehnung}\\ l_{1}\quad &-\quad\text{Länge nach der Ausdehnung}\\ l_{0}\quad &-\quad\text{Länge vor der Ausdehnung}\\ \end{aligned}$$

Gleichung 1.8 lässt sich mittels der ersten beiden Gliedern der Taylorreihe der Exponentialfunktion wie folgt darstellen:

$$\begin{aligned} l_{1} &=l_{0}(1+\alpha\cdot(T_{1}-T_{0})) &&(1.9)\\ \Leftrightarrow\quad l_{1} &=l_{0}(1+\alpha\cdot\Delta T) &&(1.10) \end{aligned}$$

$$\Delta T\quad-\quad\text{Temperaturdifferenz }(T_{1}-T_{0})$$

Betrachtet man im Folgenden die Längenänderung $$\Delta l=l_{1}-l_{0}$$ gilt mit Gleichung 1.10:

$$\begin{aligned} \Delta l &=l_{0}\cdot\alpha\cdot\Delta T &&(1.11)\\ \Leftrightarrow\quad\alpha &=\frac{\Delta l}{l_{0}\cdot\Delta T}&&(1.12) \end{aligned} $$

$$\Delta l\quad-\quad\text{Längenänderung }(l_{1}-l_{0})$$