Die Unendlichkeit der Primzahlen - Der Beweis nach Euklid

Veröffentlicht - 12.Nov.2024

Es sei angenommen, dass die Menge der Primzahlen $\mathbb{P}$ endlich ist. Das bedeutet, dass $\mathbb{P} = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$, wobei $n \in \mathbb{N}$ und jedes $p_i$ eine Primzahl ist. Nun wird eine Zahl $q$ konstruiert, indem das Produkt aller $n$ Primzahlen gebildet und zu diesem Produkt $1$ addiert wird: $$q = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n + 1 = \left( \prod\_{i=1}^n p_i \right) + 1$$ Für $q$ ergeben sich zwei mögliche Fälle: 1. $q \in \mathbb{P}$ 2. $q \notin \mathbb{P}.$ Im ersten Fall ergibt sich ein Widerspruch. Da $q \neq p_i$ für alle $i = 1, \dots, n$, existiert eine Primzahl $q$, die nicht in der ursprünglichen Menge $\mathbb{P}$ enthalten ist. Dies widerspricht der Annahme, dass die Menge der Primzahlen endlich ist. Im zweiten Fall gilt offensichtlich $q \in \mathbb{N}$, und nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl größer als 1 mindestens einen Primteiler. Folglich muss auch $q$ einen Primteiler besitzen. $$\exists \: p \in \mathbb{P}: \quad p \mid q.$$ Da $p \in \mathbb{P}$ angenommen wird, gilt insbesondere $p = p_i$ für ein $i \in \{1, \dots, n\}$. Da $p$ auch das Produkt $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n$ teilt, folgt nach dem Teilbarkeitsgesetz: $$\begin{aligned} p \mid q \quad \text{und} \quad p \mid p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n \quad &\Rightarrow \quad p \mid (q - p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n) \\ &\Rightarrow \quad p \mid 1. \end{aligned}$$ Dies stellt einen Widerspruch dar, da keine Primzahl $p$ (mit $p \neq 1$) die Zahl $1$ teilt. Somit ist die Annahme, dass die Menge der Primzahlen $\mathbb{P}$ endlich ist, widerlegt. Es folgt, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist.