Vollkommene Zahlen, Primzahlen und deren Zusammenhang

Veröffentlicht - 04.Apr.2025

Teilbarkeit ist ein interessantes Thema, mit welchem sich schon die antiken Griechen beschäftigt haben. Zur Erinnerung, die Teilbarkeit ist wie folgt definiert:

Definition: Teilbarkeit
Seiene $a$, $b \in \mathbb{Z}$ so nennt man $a$ einen Teiler von $b$ gennau dann wenn, $$a \mid b \Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{Z}: a \cdot z =b $$ gilt.

Die Griechen bemerkten damals schon, dass einige natürliche Zahlen in einem interessanten Verhältnis mit ihren Teilern standen. Um dieses besser zu sehen, vernachlässigen wir hier, dass jede Zahl durch sich selbst teilbar ist.

Teiler der ersten natürlichen Zahlen
$n$ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
„Echte“ Teiler von $n$ 1 1 1,2 1 1,2,3 1 1,2,4 1,3 1,2,5 1 1,2,3,4,6

Durch genaueres Betrachten von Tabelle lässt sich erkennen, dass die 6 und die 12 die Summe ihrer „echten“ Teiler entsprechen, solche natürlichen Zahlen nennt man Vollkommene Zahlen.

Definition: Vollkommene Zahl
Eine natürliche Zahl $n$ nennt man eine vollkommene Zahl, wenn sie gleich der Summe all ihrer „echten“ Teiler ist, also alle Teiler außer sich selbst.

Eine weiter vollkommene Zahl ist die $28=1+2+4+7+14$, alle bisher gefundenen vollkommenen Zahlen sind gerade, ob dies immer so ist, ist bis heute ungeklärt, dasselbe gilt für die Frage, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt.

Aufgabe
Zeigen Sie, dass $(2^7-1) \cdot 2^6 $, also $(1 + 2 + 4 + \dots + 64) \cdot 64$, eine vollkommene Zahl ist. Dass $1 + 2 + 4 + \dots + 64 = 127$ eine Primzahl ist, dürfen Sie voraussetzen.

Lösung Die Teiler von $(2^7-1) \cdot 2^6$ sind $$\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 127 \cdot 2, 127 \cdot 4, 127 \cdot 8,127 \cdot 16 , 127 \cdot 32, 127 \cdot 64\}.$$ Die Summe aller Teiler außer der Zahl selbst ergeben $$\begin{aligned} &1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64\\ &+ 127+ 127 \cdot 2+ 127 \cdot 4+ 127 \cdot 8+127 \cdot 16 + 127 \cdot 32\\ &= 127 + 127(1+2+4+8+16+32) \\ &=127 \cdot (1+1+2+4+8+16+32) \\ &= 127 \cdot 64. \end{aligned}$$ Somit entspricht die Summe der „echten“ Teiler der Zahl selbst, weswegen sie vollkommen ist.

Die Überlegungen aus der vorangegangenen Aufgabe lasse sich zu folgendem Satz verallgemeinern.

Satz: Hinreichende Bedingung für vollkommene Zahlen
Ist $p=1+2+4+\cdots2^n$ eine Primzahl, dann ist $p\cdot2^n$ eine vollkommene Zahl.

Beweis
Sei $a:= p\cdot2^n$.

  1. Welche Teiler hat $a$?
    Die Teiler von $a$ setzen sich zusammen aus den Teilern von $2^n$ und $p$ multipliziert mit den Teilern von $2^n$. So gilt für die Teiler von z. B. $a= 2^n\cdot 3$ $$\text{Teiler}(a= 2^n\cdot 3)=\{ 1,2,4,3,6,12\},$$  bzw. $$\text{Teiler}(a)=\{ 1,2,2^2,\cdots,2^n,p,2p,2^2p,\cdots 2^np\}$$  im allgemeinen.
  2. Ist die Summer der „echten“ Teiler von $a$ wieder $a$?
    Zur Berechnung der Summe der Teiler bietet es sich an, zuerst die Teiler von $2^n$ und danach die übrigen getrennt zu summieren. Es gilt somit $$1+2+2^2+\cdots 2^n =\sum_{i=0}^{n} 2^i.$$ Wenn man genau hinschaut, erkennt man hier, dass es sich um eine endliche geometrische Reihe handelt, für die wir die bekannte Formel nutzen können. $$\begin{aligned} 1+2+2^2+\cdots 2^n &= \sum_{i=0}^{n} 2^i \\ &=\frac{1-2^{n+1}}{1-2} \\ &=\frac{1-2^{n+1}}{-1} \\ &= -1+2^{n+1} \\ &= 2^{n+1}-1 \end{aligned}$$ Die restlichen Teiler entsprechen den obigen Teilern, multipliziert mit $p$ in Summen kommt man auf $$p(2^{n+1}-1).$$ Setzen wir beide Terme zusammen, erhalten wir $$(2^{n+1}-1)+p(2^{n+1}-1).$$ Aus den Voraussetzungen des Satzes und den vorangegangenen Überlegungen wissen wir, die Primzahl $p$ hat die Form $p=1+2+4+\cdots2^n=2^{n+1}-1$, wird dies nun eingesetzt, gilt Folgendes. $$\begin{aligned} (2^{n+1}-1)+p(2^{n+1}-1) &= p +p(2^{n+1}-1) \\ &= p\cdot(1+2^{n+1} -1) && (p \text{ wurde herausgezogen}) \\ &= p2^{n+1} \\ &= 2 \cdot \underbrace{p2^n}_{= a} \\ &= 2a \end{aligned}$$ D. h. die Summer aller Teiler von $a$ entspricht genau dem Doppelten von $a$. Für die Vollkommenheit einer Zahl muss die Summer aller „echten“ Teiler gleich $a$ sein, somit muss von obigem Ausdruck noch $a$ abgezogen werden $$2a-a=a$$und wir erhalten die Behauptung.
$\square$

Literatur